Tópico de História: Uma História da Geometria Fractal Qualquer conceito matemático agora conhecido pelas escolares passou por décadas, senão por séculos de refinamento. Um estudante típico, em vários momentos da sua carreira matemática - por mais ou menos longa que seja - encontre os conceitos de dimensão, números complexos e geometria. Se o campo da matemática não lhe interessa particularmente, esse aluno pode considerar esses conceitos como distintos e não relacionados e, em particular, ela pode cometer o erro de pensar que a geometria euclidiana ensinou a ela na escola engloba todo o campo da geometria . No entanto, se ela fosse buscar matemática no nível universitário, ela poderia descobrir um campo de estudo emocionante e relativamente novo que liga as idéias acima mencionadas, além de muitos outros: geometria fractal. Enquanto os leões compartilham o crédito pelo desenvolvimento da geometria fractal, vai ao Benoicirct Mandelbrot, muitos outros matemáticos no século anterior que ele havia lançado as bases para seu trabalho. Além disso, Mandelbrot deve uma grande parte de seus avanços à sua capacidade de usar a tecnologia informática - uma vantagem que seus predecessores certamente careciam no entanto, isso de modo algum diminui suas realizações visionárias. No entanto, embora reconheça e compreenda as realizações de Mandelbrot, sem dúvida, ajuda a familiarizar-se com as obras relevantes de Karl Weierstrass, Georg Cantor, Felix Hausdorff, Gaston Julia, Pierre Fatou e Paul Leacutevy - não só para tornar o Mandelbrots mais claro - - mas para ver suas conexões com outros ramos da matemática. Do mesmo modo, embora a maioria dos autores não deixe de incluir, pelo menos, uma breve discussão de Mandelbrots, bastante interessante e pouco convencional (para uma matemática moderna) em seus textos em fractals, parece justo dar alguma consideração, se não igual, a seus predecessores . Até o século XIX, a matemática se preocupava apenas com funções que produziam curvas diferenciáveis. Na verdade, a sabedoria convencional do dia disse que qualquer função com uma fórmula analítica (ou seja, a soma de uma série de energia convergente) certamente produziria tal curva. 3 No entanto, em 18 de julho de 1872, Karl Weierstrass apresentou um artigo na Royal Prussian Academy of Sciences mostrando que para um número inteiro positivo e 0 lt b lt 1 não é diferenciável. Usando a definição de limite de um derivado, ele mostrou que o quociente de diferença da função é arbitrariamente grande à medida que o índice de soma aumenta. Como o próprio Weierstrass apontou, Riemann apresentou como um exemplo de uma função analítica não diferenciável, mas nunca publicou uma prova, nem alguém poderia replicá-la. 14 Assim, a prova de Weierstrasss é o primeiro exemplo rigorosamente comprovado de uma função analítica, mas não diferenciável. Enquanto Weierstrass, e de fato, grande parte do estabelecimento matemático do tempo evitou o uso de gráficos em favor da manipulação simbólica para provar resultados, futuros matemáticos, como Helge von Koch e Mandelbrot, consideraram útil representar seus resultados graficamente. 5 7 Na verdade, quando um só trabalhou com curvas que são diferenciáveis em quase todos os lugares, uma pergunta óbvia quando se encontra uma fórmula para uma curva que não é, o que parece. Embora essas sejam ambas as aproximações, pode-se ver que essas funções Falta a suavidade das parábolas ou das funções seno e coseno. Essas funções resistiram à análise tradicional e foram - embora não devido à sua aparência, que estava além da habilidade dos matemáticos do dia para representar - monstros marcados por Charles Hermite e foram amplamente ignorados pela comunidade matemática contemporânea. 2 Em 1883, Georg Cantor, que participou de palestras de Weierstrass durante seu tempo de estudante na Universidade de Berlim 9 e que deve definir a teoria do que Mandelbrot é a geometria fractal, 3 introduziu uma nova função, 968. Para o qual 968 0 exceto no conjunto de pontos, z. Este conjunto, z, é o que se tornou conhecido como o conjunto Cantor. A função 968 é singular, monótona, não constante e 968 0 em quase todos os lugares. Ele também tem a propriedade de que o conjunto The Cantor tem uma medida de Lebesgue de zero no entanto, também é contábilmente infinito. 3 O que é mais, tem a propriedade de ser auto-similar, o que significa que se alguém ampliar uma seção do conjunto, obtém-se novamente o conjunto. Olhando para a Figura 4, pode-se ver facilmente que cada linha horizontal é um terço do tamanho da linha horizontal diretamente acima dela. De fato, a auto-semelhança é uma característica dos fractals, e o conjunto de Cantor é um exemplo inicial de um fractal, embora a auto-semelhança não tenha sido definida até 1905 (por Cesagravero, que estava analisando o artigo de Helge von Koch discutido abaixo) e Fractals não foram definidos até Mandelbrot em 1975, 2 assim Cantor não teria pensado nesses termos. Em um artigo publicado em 1904, o matemático sueco Helge von Koch, construído usando formas geométricas, é a famosa curva von Koch e, portanto, o floco de neve Koch, que são três curvas von Koch unidas. Na introdução de seu artigo, ele afirmou o seguinte sobre Weierstrasss 1872, ensaio 6:. Parece-me que o exemplo de Weierstrasss não é satisfatório do ponto de vista geométrico, uma vez que a função é definida por uma expressão analítica que esconde a natureza geométrica da curva correspondente e, desse ponto de vista, não vê por que a curva tem Nenhuma tangente. Em vez disso, parece que a aparência está realmente em contradição com a realidade factual estabelecida pela Weierstrass de uma maneira puramente analítica. A curva de Von Kochs, como o conjunto de Cantor, tem a propriedade de auto-semelhança. Ele, também, é um fractal, no entanto, como Cantor, von Koch não estava pensando nesses termos. Ele apenas pretendia fornecer uma maneira alternativa de provar que funções que não eram diferenciáveis (ou seja, funções que não possuem tangentes em linguagem geométrica) poderiam existir - uma maneira que envolveu o uso de geometria elementar (o título da referência 6s se traduz em On a Continuous Curve without Tangent Constructible da geometria elementar). Ao fazê-lo, von Koch expressou um link entre esses monstros de análise e geometria não diferenciáveis. O próprio Von Koch era um matemático bastante insignificante. Muitos de seus outros resultados foram derivados daqueles de Henri Poincareacute, de quem ele sabia que era possível obter resultados patológicos - ou seja, esses chamados monstros - mas nunca os explorou exatamente, fora do ensaio acima mencionado. 5 Poincareacute, deve notar, estudou dinâmicas não-lineares no final do século 19, o que eventualmente levou à teoria do caos, 2 um campo intimamente relacionado à geometria fractal, embora além do alcance deste artigo. Por conseguinte, é apropriado que um matemático cujo trabalho seguisse o de Poincareacute tão próximo se tornaria um dos antepassados de um campo que está intimamente relacionado com a área de estudo para a qual o próprio Poincareacute ajudou a lançar as bases. Um conceito absolutamente chave no estudo dos fractals, além da auto-similaridade e da não-diferenciabilidade acima mencionadas, é a dimensão de Hausdorff, um conceito introduzido por Felix Hausdorff em março de 1918. Os resultados de Hausdorffs do mesmo papel foram importantes para o campo De topologia, bem como 3, no entanto, sua definição de dimensão ampliou a definição anterior para permitir que os conjuntos tenham uma dimensão que seja arbitrária, o valor não-zero 4 (ao contrário da dimensão topológica) acabou sendo integral à definição de um fractal, Como Mandelbrot definiu fractals um conjunto com dimensão Hausdorff estritamente maior do que a sua dimensão topológica. 2 Assim que Hausdorff introduziu esta nova e expandida definição de dimensão, foi objeto de investigação - em particular por Abraham Samilovitch Besicovitch, que, desde 1934 até o início de 1937, escreveu nada menos que três artigos referentes ao trabalho de Hausdorffs. 3 Infelizmente, por essa altura, Hausdorff estava tendo dificuldades em viver como judeu na Alemanha nazista. Ele foi forçado a desistir de sua postura como professor na Universidade de Bona em 1935, e apesar de continuar trabalhando em teoria e topologia de conjuntos, seu trabalho só poderia ser publicado fora da Alemanha. Apesar de ter conseguido temporariamente evitar ser enviado para um campo de concentração, a situação na Alemanha tornou-se rapidamente insuportável e, com o outro lado, ele, junto com sua esposa e cunhada, optou por se suicidar em janeiro de 1942. 4 O Dimensão Hausdorff, d. De um conjunto auto-semelhante - a sua conexão com a geometria fractal, porém, como já foi dito, existem muitas outras aplicações da dimensão Hausdorff - que é reduzida pelas relações r 1. R 2. R N (ou seja, a primeira iteração do conjunto é o conjunto inteiro, reduzido por um fator de r 1) satisfaz as seguintes duas equações 2: essas equações, no entanto, não aparecem no papel Hausdorffs, pois elas se relacionam diretamente com fractals ( E calculando a dimensão de um fractal), que eram idéias que teriam sido desconhecidas para Hausdorff. Ainda assim, a partir destas duas equações, é fácil ver como se pode obter uma dimensão que não é um número inteiro, como 2 Ao quase o mesmo tempo que Hausdorff fez sua pesquisa, dois matemáticos franceses, Gaston Julia e Pierre Fatou, desenvolveram resultados (Embora não juntos) que acabou sendo importante para a geometria fractal. Estudaram mapeamentos do plano complexo e funções iterativas. Seu trabalho com funções iterativas levou a idéias de atrapalhadores. Pontos no espaço que atraem outros pontos para eles e repelentes. Pontos no espaço que repelem outros pontos, geralmente para outro atrator. Esses conceitos também são importantes para a teoria do caos. Os limites das várias bacias de atração acabaram por ser muito complicados e são conhecidos hoje como Julia define 7, um exemplo do qual pode ser visto na Figura 6. Uma definição mais analítica de um Julia definido para uma função, f (z) , É 2 Ou seja, o conjunto Julia de f é o limite do conjunto de pontos z 8712 C que escapam ao infinito sob repetição iterativa por f (z). 2 Porque Fatou e Julia (e, por extensão, seu trabalho) são anteriores aos computadores, não conseguiram gerar imagens como a da direita, que é o gráfico de milhões de iterações de uma função. Eles estavam limitados ao que eles poderiam fazer à mão, o que seria apenas cerca de três ou quatro iterações. 7 Julia publicou um artigo de 199 páginas em 1918 chamado Meacutemoire sur littérations of fonctions rationelles. Que discutiu grande parte de seu trabalho em funções iterativas e descrevendo o conjunto de Julia. Com este artigo, Julia ganhou o Grande Prêmio da Acadeacutemie des Sciences e tornou-se extremamente famosa em círculos matemáticos ao longo da década de 1920. No entanto, apesar desta proeminência, seu trabalho na iteração caiu na obscuridade por cerca de cinquenta anos. 11 Fatou, por outro lado, não alcançou o mesmo nível de fama que Julia, mesmo contemporaneamente, apesar de descobrir resultados muito semelhantes - embora de maneira diferente - e também enviá-los para serem publicados. Ele enviou um anúncio de seus resultados ao Comptes Rendus. Enquanto Julia tinha escolhido enviar sua opus ao Journal of Matheacutematiques Pures et Appliqueacutees. Julia, protetora de seu trabalho, enviou cartas a Comptes Rendus pedindo que investigassem cujos resultados tinham prioridade. A publicação lançou uma investigação e incluiu uma nota sobre as descobertas de Julias na mesma questão do anúncio Fatous. Isso pareceu desencorajar Fatou o suficiente para evitar que ele entre no Grande Prêmio. Ainda assim, a Acadeacutemie des Sciences deu-lhe algum reconhecimento e concedeu-lhe um prêmio por seu artigo sobre o tema. 10 conjuntos Julia podem ser completamente desconectados, caso em que são pó (Figura 7) - semelhante ao conjunto Cantor (Figura 4) - ou estão completamente conectados (Figura 6). Em raras ocasiões, eles podem ser dendritos (Figura 8), onde eles são compostos completamente de linhas de sub-ramificações contínuas, que só estão conectadas uma vez que a remoção de qualquer ponto delas as separaria em dois, 7 em que ponto, Eles seriam considerados pó. 7 O método para decidir se um conjunto está ou não conectado é calcular a órbita do ponto de partida. A órbita para um ponto de partida, x 0. É a seqüência 2 Se esta seqüência se desloca para o infinito, o conjunto é desconectado. Caso contrário, ele está conectado. 7 Em 1938, ano após o último artigo de Besicovitchs sobre a dimensão de Hausdorff, Paul Leacutevy produziu um tratamento abrangente sobre a propriedade da auto-semelhança. Ele mostrou que a curva von Koch era apenas um dos muitos exemplos de uma curva auto-similar, embora o próprio von Koch tivesse afirmado que sua curva poderia ser generalizada. As curvas geradas por Leacutevy (veja a Figura 9 para um exemplo - os conjuntos verde e azul são duas cópias menores do conjunto maior) foram iterativas e conectadas e, com iterações suficientes, cobre (ou azulejos) o plano. As curvas de Leacutevys, no entanto, não são fractals, pois têm um Hausdorff e uma dimensão topológica de dois. 3 Pouco, naquele momento, alguém suspeitava que houvesse alguém, ainda que muito jovem, que unisse as obras de Leacutevy e Hausdorff. Benoit Mandelbrot nasceu em 1924 em Varsóvia, na Polônia e, como Hausdorff, ele também era judeu, embora sua família conseguisse escapar da vida sob o Terceiro Reich em 1936, deixando a Polônia para a França, onde familiares e amigos os ajudaram a criar suas novas vidas . Um dos tios de Mandelbrots, Szolem Mandelbrojt, era um matemático puro, que se interessava pelo jovem Mandelbrot e tentou orientá-lo para a matemática. De fato, em 1945, Mandelbrojt mostrou a seus sobrinhos as obras de Fatou e Julia, embora o jovem Mandelbrot inicialmente não gostasse muito. 13 A educação de Mandelbrots foi muito desigual e completamente interrompida em 1940, quando Mandelbrot e sua família foram forçados a fugir dos nazistas novamente. Desta vez, foram para o centro da França. Mandelbrot, como Helge von Koch antes dele, preferia as representações visuais de problemas matemáticos, em oposição ao simbólico7, embora isso também possa resultar de sua falta de educação formal, devido à Segunda Guerra Mundial. 13 Infelizmente, isso o levaria a um conflito direto com o estilo de ensino de Bourbaki, um grupo de matemáticos cuja crença na solução de problemas analiticamente (em oposição a visualmente) dominava o ensino de matemática na França na época. 7 Depois que a guerra terminou, Mandelbrot tomou os exames de admissão para a Eacutecole Polytechnique em Paris, apesar de não ter preparado. Ele fez muito bem na seção de matemática, onde ele poderia empregar sua capacidade de resolver problemas através da visualização para responder a perguntas. Embora esse método nem sempre tenha sido possível em outras seções, ele conseguiu passar 7 e depois de uma carreira de um dia na Eacutecole Normale, Mandelbrot começou na Eacutecole Polytechnique, onde conheceu outro de seus mentores, Paul Leacutevy, 13 que era um Professor lá desde 1920 até sua aposentadoria em 1959 12. Depois de completar seus estudos, Mandelbrot mudou-se para Nova York, onde começou a trabalhar para o Centro de Pesquisa Thomas J. Watson da IBM. A empresa deu-lhe uma mão livre na escolha de um tema de estudo, o que lhe permitiu explorar e desenvolver conceitos usando seus próprios métodos, sem ter que se preocupar com a reação da comunidade acadêmica. Em 1967, enquanto ainda lá, Mandelbrot escreveu seu ensaio histórico, How Long Is the Coast of Britain Self-Similarity Statistical and Fractional Dimension 8, no qual ele ligou a idéia de matemáticos anteriores para o mundo real - isto é, litorais, que ele afirmou Foram estatisticamente auto-similares. Ele argumentou que 8 métodos de auto-semelhança são uma ferramenta potente no estudo dos fenômenos do acaso, incluindo a geostática, bem como a economia e a física. Na verdade, muitos ruídos têm dimensões D contidas entre 0 e 1. Após este ensaio e com a ajuda de computadores, Mandelbrot voltou ao trabalho de Julia e Fatou. Com a capacidade de ver, pela primeira vez, o que esses conjuntos pareciam em seus limites, Mandelbrot surgiu com a idéia de mapear os valores de c 8712 C para os quais a configuração de Julia para a função fc (z) z 2 c é conectado. Isso cria o conjunto Mandelbrot, M (Figura 10), que é mais formalmente denotado como O conjunto Mandelbrot é, para muitos, o fractal quintessencial. Quando se aproxima em alguma parte da borda, percebe-se que o conjunto de Mandelbrot é, de fato, auto-similar. Além disso, se um se aproxima ainda mais em várias seções da borda, obtem-se diferentes conjuntos de Julia. De fato, é assímpticamente similar a Julia se aproxima de qualquer ponto em seu limite, conforme provado em um teorema pelo matemático chinês Tan Lei. 7 Mandelbrot conseguiu não só inventar a disciplina da geometria fractal, mas também a popularizou através de suas aplicações para outras áreas da ciência. Ele claramente acreditava que isso era importante, como ele afirmou uma vez 3. Os estudiosos raros que são nômades por escolha são essenciais para o bem-estar intelectual das disciplinas estabelecidas. Como ele insinuou em How long Is the Coast of Britain, a geometria fractal vem útil para representar fenômenos naturais coisas como litorais, a silhueta de uma árvore ou a forma de flocos de neve - as coisas não são facilmente representadas usando geometria euclidiana tradicional. Afinal, nenhuma entidade orgânica vem à mente quando se contempla um quadrado ou um círculo. Igualmente, nenhuma forma simples da geometria euclidiana vem à mente ao contemplar coisas como o caminho de um rio. Mesmo a terra não é uma esfera perfeita, por mais conveniente que seja para os cálculos tratá-la como tal. Além disso, a geometria fractal e a teoria do caos têm conexões importantes à física, à medicina e ao estudo da dinâmica populacional. 7 No entanto, mesmo que o campo careça desses links, seria difícil para aqueles tão inclinados a resistir ao apelo estético da maioria dos fractals. A abordagem não-tradicional de Mandelbrots levou-o a inventar uma nova e surpreendente e útil nova forma de matemática. No entanto, nenhum matemático pode alegar ter desenvolvido seus resultados em completo isolamento de qualquer um. A descoberta de Mandelbrots deve muito aos matemáticos que o precederam, como Weierstrass e von Koch, mas especialmente a Julia, Fatou e Hausdorff. Ele também se beneficiou do acesso aos computadores, o que lhe permitiu não só construir sobre as obras dos outros de uma maneira nova - uma que definitivamente não tinha sido feita antes -, mas usar seu método preferido para resolver problemas - a saber, a visualização. Além disso, sua invenção também faz um caso para a importância do estudo da matemática pura: até que Mandelbrot veio e unisse as idéias ecléticas de Hausdorff, Julia e outros, eles representaram idéias matemáticas muito abstratas de vários ramos de matemática (pura). Há muito pouco que interessaria a um biólogo comum sobre teoria de conjuntos. No entanto, através da geometria fractal, muitas dessas idéias aparentemente abstratas (de matemáticos que são relativamente desconhecidos fora de suas próprias esferas de pesquisa) desenvolvem aplicações que outros cientistas e até mesmo não cientistas podem apreciar. Assim, o trabalho que eventualmente levou a fractals e suas aplicações são um excelente contra-exemplo aos argumentos de quem se atreveria a denigrar o estudo da matemática pura. Artigo: Holly Trochet (Universidade de São Andrews) Fevereiro 2009 MacTutor História da Matemática www-history. mcs. st-andrews. ac. ukHistTopicsfractals. htmlA origem dos fractals Karl Weierstrass Na virada do século, a hostilidade estava crescendo entre alguns grupos de Matemáticos. A causa dessa inimizade foi que certos analistas demonstraram que as funções não necessitam necessariamente de possuir algumas propriedades que outros analistas acreditavam que as funções deveriam possuir. Matemáticos como Karl Weierstrass estavam inventando novas funções tão bizarras quanto ao choque de grande parte da comunidade de matemática. Hermite e seu aluno Poincar, em particular, descreveram novas criações de Weierstrass como um mal deplorável. Por meio de uma introdução, começamos com um olhar sobre a função F (x) x isso tem a propriedade de que quando x gt0 então F (x) x e de outra forma F (X) - x. Agora, considere o que acontece em x 0, mostrado no gráfico abaixo: F (x) é contínuo pelo qual queremos dizer que não há lacunas na linha. Podemos considerar qualquer função contínua como uma que pode ser desenhada sem tirar a sua caneta do papel. Na posição F (0) parece haver um dente na linha que não parece suave, não importa o quão perto você se aproxima. Esta é uma descontinuidade na inclinação (ou gradiente) da curva, uma vez que de repente muda de um Ângulo para outro. Nessa posição, a curva não é diferenciável, pois não há como calcular o gradiente. Ser diferencial em um ponto x normalmente é definido como um aspecto suave nesse ponto. No final do século 19 acreditava-se que todas as funções contínuas devem ser diferenciadas (suaves) em pelo menos um local. Foi Karl Weierstrass que procedeu a criar uma função que não foi diferenciada, mas ainda era contínua. Isso significa que o gradiente da curva nunca pode ser encontrado. Uma versão da função Weierstrass apresentada aqui é baseada em uma soma infinita de curvas de coseno, e um caso geral é o Gráfico de C (x) contra x. Onde neste caso um 8 e b 0.9. A seqüência a seguir mostra a curva à medida que um número crescente de termos de coseno são adicionados em conjunto: O primeiro termo n 1 A soma dos dois primeiros termos n 1 e n 2 A soma dos três primeiros termos n 1, n 2 e n 3 O Soma dos primeiros quatro termos n 1, n 2, n 3 e n 4 No momento em que não havia uso concebido para essas funções e muitos matemáticos ficaram alarmados em perder a propriedade da diferenciação como constante. Hermite descreveu essas novas funções como uma terrível praga e Poincar escreveu ontem, se uma nova função fosse inventada, era para servir algum fim prático hoje, eles são especialmente inventados apenas para mostrar os argumentos de nossos pais, e eles nunca terão nenhum outro uso . David Hilbert Apesar dessas observações, muitos matemáticos continuaram a criar essas funções de monstros patológicos e uma das funções mais conhecidas e bem utilizadas foi criada por David Hilbert. Hilbert era um matemático muito respeitado na virada do século, embora seus contemporâneos como Gordan muitas vezes não conseguissem apreciar a abordagem revolucionária de Hilberts para resolver problemas. Isto é particularmente verdadeiro para Hilberts prova do teorema de base finita que ele submeteu a Mathematische Annalen. Um teorema que Gordan provou vinte anos antes usando uma abordagem muito mais computacional. Hoje, Hilbert é particularmente lembrado pelos seus famosos 23 problemas de Paris (que incluíram a conjectura de Goldbachs - veja os mistérios matemáticos: a conjectura de Goldbach no número 2), e também através do conceito de espaço de Hilbert, uma ferramenta vital na teoria quântica. Hilberts contribuição particular para as funções do monstro patológico tem a propriedade de não só ser contínua, mas também surjective. Uma curva de preenchimento do espaço. Curvas de preenchimento de espaço A curva de preenchimento do espaço de Hilbert é criada começando com uma forma inicial, parecendo um grampo. Isto é, copiado e girado quatro vezes com linhas de conexão inseridas para preencher uma área quadrada. Sua simplicidade e beleza derivam do fato de que subdivide progressivamente uma matriz quadrada em uma infinita matriz de sub-quadrados. A curva final é criada repetindo o processo de cópia infinitamente muitas vezes. Os primeiros estágios são mostrados abaixo. Esta curva é unidimensional, mas tem a propriedade de preencher completamente um espaço bidimensional. A função correspondente definiremos como H que leva um único número real x e retorna um par de números reais (u. V) escrito H (x) (u, v). Isso é denominado representação paramétrica para uma curva. Possui as seguintes propriedades: - H (x) é um mapeamento um-para-um (também conhecido como injetável) de modo que se H (x) H (y), então, x y. Isso significa que a linha não se sobrepõe a si mesma. H (x) está ligado (também conhecido como surjective) para que cada ponto bidimensional no quadrado (u, v) possa ser expresso como H (x) para algum x. Isso significa que a linha cobre todos os pontos possíveis no quadrado. H (x) é uma função contínua. Isso significa que não há lacunas na linha. Como H é injetável, podemos encontrar um mapeamento inverso H -1. Esse mapeamento inverso traduz um ponto no quadrado (u, v) para um valor na linha H (x). No entanto, este mapeamento inverso não é contínuo dois pontos vizinhos no quadrado, H (x) e H (y) dizem, mapearão em dois pontos x e y na curva, mas esses pontos podem estar a qualquer distância um do outro . Uma vez que nossa função original H foi contínua, isso mostra o fato importante de que nem todas as funções contínuas têm um inverso contínuo. O termo fractal agora comumente usado para definir esta família de funções não diferenciáveis que são de comprimento infinito foi introduzido em meados da década de 1970 por Benoit Mandelbrot. O termo fractal é derivado do adjetivo latino FRACTUS, cujo verbo correspondente FRANGERE significa quebrar uma descrição que melhor se adequa ao aspecto dessas curvas. Para saber mais sobre os fractals, veja a natureza da Modelagem com fractals em outro lugar desta edição. Leitura adicional A matemática dos fractais é discutida em alguns sites divertidos: e em muitos livros, incluindo: Fractals Everywhere, segunda edição, de Michael F Barnsley, revisado com a assistência da Hawley Rising III. Boston London: Academic Press Professional, c1993 Computadores, padrões, caos e beleza: gráficos de um mundo invisível por Clifford A Pickover. Stroud: Sutton 1990 The Fractal Geometry of Nature por Benoit B Mandelbrot. São Francisco: W H Freeman, c1982 Algumas das imagens e textos contidos neste artigo são do seguinte livro: O autor Dr. Martin J Turner. Imaging Research Center, SERC, De Montfort University, Leicester LE1 9BH
No comments:
Post a Comment